gries

gries
aposperida

Παρασκευή 12 Μαρτίου 2010

μεθοδος εξαντλησης

Μια προσέγγιση του απειροαθροίσματος από τον Αρχιμήδη

Ένα από τα μαθηματικά προβλήματα που αντιμετώπιζαν οι μαθηματικοί στην αρχαία εποχή ήταν και το εξής:

Είναι δυνατόν να έχουμε άθροισμα με άπειρους προσθετέους και να πάρουμε αποτέλεσμα έναν πεπερασμένο πραγματικό αριθμό;

Ο Αρχιμήδης (287 – 212 π Χ) , χρησιμοποιώντας την λεγόμενη «μέθοδο της εξάντλησης»

του Ευδόξου (περίπου το 400 π.Χ) έδωσε απάντηση με το παρακάτω παράδειγμα

Συγκεκριμένα έχοντας το άθροισμα

με άπειρους προσθετέους , να πως δικαιολόγησε ότι το αποτέλεσμα είναι πραγματικός αριθμός

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να μοιράσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους μιας μονάδας, σε τρία άτομα.

Κόβουμε το τμήμα ΑΒ σε τέσσερα κομμάτια και δίνουμε σε κάθε έναν από ένα κομμάτι.

Έτσι ο καθένας θα πάρει το ¼ και θα περισσέψει και ένα κομμάτι από τα τέσσερα, έστω το ΕΒ. Το κομμάτι αυτό ΕΒ που περίσσεψε το κόβουμε πάλι σε τέσσερα κομμάτια, δίνουμε σε κάθε έναν από ένα δηλαδή δίνουμε το ¼ του ¼ άρα το 1/16 και περισσεύει το ένα κομμάτι. Το κομμάτι αυτό ΘΒ που περίσσεψε το κόβουμε πάλι σε τέσσερα κομμάτια, δίνουμε σε κάθε έναν από ένα δηλαδή δίνουμε το ¼ του 1/16 άρα το 1/64 και περισσεύει το ένα κομμάτι. Συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία μέχρι να «εξαντληθεί» το ευθύγραμμο τμήμα. Όμως το κάθε άτομο θα πάρει σαν μερίδιο το 1/3 του ευθύγραμμου τμήματος, δηλαδή το ζητούμενο άθροισμα ισούται με 1/3


βλεπε Καρακωστα

1 σχόλιο: